有限数学示例

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2

将 $a = 2$ 、 $b = - 5$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $25$ 中减去 $32$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 3.4

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 4

代入 $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

解题步骤 5

求解 $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ 。

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 5.3

展开左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 5.4

展开右边。

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解题步骤 5.4.1

将 $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ 重写为 $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ 。

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

解题步骤 5.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

解题步骤 5.4.3

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

解题步骤 5.4.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

解题步骤 5.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (2)$ 。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

解题步骤 5.5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

解题步骤 5.5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

解题步骤 6

代入 $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ 。

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 7.3

展开左边。

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解题步骤 7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

解题步骤 7.4

展开右边。

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解题步骤 7.4.1

将 $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ 重写为 $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ 。

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

解题步骤 7.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

解题步骤 7.4.3

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

解题步骤 7.4.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

解题步骤 7.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (2)$ 。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

解题步骤 7.5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

解题步骤 7.5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

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